Sławni Matematycy 2

François Viete 
 Życiorys
François Viete (ur. w roku 1540 w Fontenay le Comte zm. 23 lutego 1603 w Paryżu), francuski matematyk i astronom. Studiował i praktykował prawo, następnie pracował jako nauczyciel przedmiotów ścisłych w domach szlacheckich oraz radca królewski i parlamentarny (parlamentu Bretanii). Zajmował się m.in. algebrą i trygonometrią, sformułował wzory algebraiczne pozwalające rozwiązywać równania kwadratowe, zwane dziś wzorami Viete'a. Wprowadził notację literową dla stałych w równaniach. Literowe oznaczenia stosowane były w starożytności przez myśliciela Diofantosa. François Viete jako pierwszy wprowadził oznaczenia literowe dla niewiadomych i współczynników. Podczas wojny francusko-hiszpańskiej Viete znalazł klucz do szyfru używanego przez Hiszpanów.

Ciekawostki
François Viete z wykształcenia był prawnikiem, ale najbardziej znany jest ze swych osiągnięć matematycznych (choć w tej dziedzinie był tylko samoukiem). Jako pierwszy wpadł na pomysł, by w równaniach oznaczyć literami nie tylko niewiadome, ale także współczynniki. Dzięki temu mógł odkryć swoje słynne wzory. Viete był znany ze swej sprawności w rozwiązywaniu równań. W 1594 roku holenderski matematyk Adrian Van Roomen rzucił innym matematykom wyzwanie, prezentując bardzo skomplikowane równanie 45 stopnia (czyli takie, w którym niewiadoma występuje w 45 potędze), którego, jak sądził, nikt nie będzie w stanie rozwiązać. Ku jego zdumieniu, Viete bardzo szybko znalazł 23 rozwiązania tego równania. Innym słynnym wyczynem Viete'a było złamanie szyfru, którym posługiwał się król Hiszpanii w swojej tajnej korespondencji. Hiszpanie nie mogli uwierzyć, że mógł tego dokonać zwykły człowiek i zwrócili się do papieża ze skargą, że Francuzi używają czarnej magii. 

Descartes
 Życiorys
Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 w Sztokholmie) francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.

Ciekawostki
Legenda głosi, że Kartezjusz wpadł na pomysł wprowadzenia współrzędnych do geometrii, leżąc w łóżku i obserwując muchę pełzająca po suficie blisko narożnika. W pewnym momencie "olśniło go", że droga muchy po suficie mogłaby zostać opisana, gdyby znany był związek między odległościami muchy od dwu sąsiednich ścian. 

Newton
 Życiorys
Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe by Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) - angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik. W swoim słynnym dziele Philosophiae naturalis principia mathematica (1687 r.) przedstawił prawo powszechnego ciążenia, a także prawa ruchu leżące u podstaw mechaniki klasycznej. Niezależnie od Gottfrieda Leibniza przyczynił się do rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego.

Ciekawostki
Prawo powszechnego ciążenia stało się najbardziej znanym odkryciem Newtona. Przestrzegał on jednak przed używaniem go w celu patrzenia na Wszechświat jak na pewien rodzaj maszyny np. wielkiego zegara. Pisał on: "Grawitacja wyjaśnia ruch planet, ale nie jest w stanie wyjaśnić, kto umieścił planety w ruchu. Bóg rządzi wszystkimi rzeczami i wie wszystko o tym, co może być zrobione". Biblia, a nie nauka, była największą pasją Newtona. Poświęcał więcej czasu Pismu Świętemu niż nauce. Napisał: "Jestem przekonany, że Biblia jest Słowem Bożym, napisanym przez tych, których On inspirował. Studiuję ją codziennie" oraz: "Żadna inna nauka nie jest tak potwierdzona, jak nauka Biblii". Na podstawie Biblii obliczył datę końca świata na rok 2060. Newton był potajemnie unitarianinem, tzn. nie wierzył w św. Trójcę. Napisał na ten temat wiele prac, jednak wszystkie zostały opublikowane dopiero po jego śmierci.

Sir Izaak Newton przyznał, że utopił w akcjach Kompanii Mórz Południowych aż 20 tys. funtów. To spory majątek - cały spadek po Newtonie (a należał on do grona zamożnej elity Londynu) wyniósł 32 tys. funtów. Newton - geniusz wszech czasów, twórca podstaw mechaniki klasycznej, autor "Principiów" i trzech zasad dynamiki - poszedł za głosem tłumu i inwestował jak nowicjusz: kupował akcje, kiedy były już bardzo drogie. Jego wpadka pozwoliła Warrenowi Buffettowi sformułować taką myśl: "Gdyby nie przeżył tak ciężko swojej straty, sir Isaac mógłby dojść do odkrycia czwartej zasady dynamiki - zyski maleją wraz ze wzrostem ruchu". Przy okazji Buffet dorzucił jeszcze jedną: inwestowanie to nie jest gra, w której gość z IQ 160 wygrywa z gościem o IQ 130. Sir Izaak Newton podsumował swoją przygodę z Kompanią Mórz Południowych trochę inaczej: "Potrafię policzyć ruch gwiazd, ale nie ludzkie szaleństwo".

Jedną z anegdot, powstała na potwierdzenie szczególnego roztargnienia Sir Isaaca Newtona, opowiada, że podczas pewnego przyjęcia, zupełnie nie zdając sobie sprawy z tego co robi, uczony użył palca siedzącej obok damy do rozgniecenia tytoniu w swojej fajce. Rzecz jasna, fajka była zapalona.

Inną anegdotą jest zapis 6a cc d ae 13eff7i 31 9n4o4q rr 4s 9t 12 vx, złożony zarówno z liter, jak i cyfr. To logogryf, którego Newton używał do kodowania wyników swoich badań, aby Leibniz nie mógł ich odczytać i przypisać sobie ich autorstwa. Mówi się, że ten ostatni więcej pracy musiałby włożyć w odszyfrowanie samego kodu, niż w zrozumienie zawartych w nim sekretów. 

Euler

Życiorys
Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) - szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii. Dokonał licznych odkryć w tak różnych gałęziach matematyki jak rachunek różniczkowy i całkowy oraz teoria grafów. Wniósł duży wkład w rozwój terminologii i notacji matematycznej, szczególnie trwały w dziedzinie analizy matematycznej. Jako pierwszy w historii użył na przykład pojęcia i oznaczenia funkcji. Opublikował wiele ważnych prac z zakresu mechaniki, optyki i astronomii.
Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto przypisywane Laplace'owi zdanie wyrażające wpływ Eulera na matematykę: "Czytajcie Eulera, czytajcie go - jest mistrzem nas wszystkich."

Uczony ten należy do grona najbardziej twórczych - jego dzieła zapełniłyby 60-80 tomów kwarto. Podobizna Eulera widnieje na szwajcarskim banknocie 10-frankowym szóstej serii; uczonego uwieczniono też na wielu szwajcarskich, niemieckich i rosyjskich (radzieckich) znaczkach pocztowych. Na jego cześć jedna z asteroid zyskała miano "2002 Euler".

Ciekawostki
Euler po ukończeniu studiów pracował w Petersburgu ale gdy atmosfera się pogorszyła skorzystał z zaproszenia króla Prus Fryderyka wielkiego i przeniósł się do Berlina. W Berlinie królowa starała się przy spotkaniach wciągnąć sławnego uczonego w rozmowę, ale on odpowiadał tylko monosylabami.
- Dlaczego Pan nie chce ze mną rozmawiać? - spytała królowa.
- Wasza Wysokość, przybyłem z kraju, w którym tych, którzy mówią, posyła się na szubienicę - wyjaśnił Euler.

W okresie pracy Eulera w Petersburgu przebywał w Rosji na zaproszenie Katarzyny II francuski filozof Denis Diderot, który był sztandarowym przedstawicielem Oświecenia, przez co gorszył petersburski dwór swoim wolnomyślicielstwem oraz ateizmem. Cesarzowa zaalarmowana, że argumenty jej gościa za ateizmem wpływają na członków jej dworu, poprosiła Eulera o stanięcie do konfrontacji z Diderotem. Francuz został poinformowany, że uczony matematyk opracował dowód na istnienie Boga; Diderot zgodził się na publiczne zaprezentowanie tego dowodu przez Eulera przed cesarskim dworem. W ustalonym czasie Euler przybył, skierował swe kroki ku Francuzowi i stanąwszy przed nim, tonem całkowitej pewności siebie oznajmił:
- Panie! Otóż (a+bn)/n = x, a więc Bóg istnieje. Cóż Pan na to?! Diderot, który nie był dyletantem matematycznym stał osłupiały, aż salwy śmiechu wybuchnęły wśród całego dworu. Zażenowany, poprosił o pozwolenie opuszczenia Rosji, na co cesarzowa łaskawie się zgodziła.

Sławni Matematycy 1

Tales
Życiorys
Tales z Miletu (ok. 620 - ok. 540 p.n.e.), filozof, matematyk i astronom grecki, jeden z twórców tzw. szkoły jońskiej. Rozpoczął systematyzowanie wiedzy geometrycznej. Przypisuje mu się wiele twierdzeń (m.in. twierdzenie Talesa, dzięki któremu miał wyznaczyć wysokość piramidy). Uchodzi za ojca matematyki. Znane mu były zjawiska oddziaływania magnesu na żelazo i elektryzowania się bursztynu, umiał też przewidzieć zaćmienia Słońca. Uważany za pierwszego greckiego filozofa.

Ciekawostki
Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać. Ponieważ trójkąty OAA' i OBB' są podobne zachodzi proporcja: skąd . Znając |AA'| - długość kija, mierząc |OA| - długość jego cienia i |OB| - długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu. Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób - wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę. 

Pitagoras  

Życiorys
Pitagoras z Samos, żył w latach 570-496 p.n.e. matematyk i filozof grecki. Pochodził z wyspy Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. Mając lat 40 opuścił Jonię, która walczyła z Persami, i odbył liczne podróże, również do Indii, gdzie zetknął się z tamtejszymi systemami filozoficzno-religijnymi. Pozostawił po sobie prąd filozoficzno-religijny związany ze swoim imieniem, trwający przez dwa wieki. Trudno jest stwierdzić co dokonał sam Pitagoras, a co jego uczniowie, więc raczej należy mówić o pitagoreizmie. Elementami pitagoreizmu są: muzyka, harmonia i liczba, rozpatrywane przede wszystkim jako czynniki wychowawcze, służące zbliżeniu do boga. Matematyka i mistyka liczb tworzyły w pitagoreizmie dziwny konglomerat, z którego wyrosło ścisłe poznanie matematyczne późnych pitagorejczyków, ceniących tylko to, co mogło być dowiedzione na drodze rozumowej. W dziedzinie geometrii opracowali oni teorię równoległych wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wielokątów foremnych. Badali koło, wielościany foremne i kulę. Odkryli pięciokąt foremny, wiedzieli, że płaszczyznę można pokryć tylko następującymi wielokątami foremnymi: trójkątami równobocznymi, kwadratami albo sześciokątami. Udowodnili twierdzenie samego Pitagorasa.

Ciekawostki
Legenda głosi, że Pitagoras ofiarował bogom 100 wołów jako wyraz wdzięczności za odkrycie własności trójkątów prostokątnych. Warto przypomnieć, że twierdzenie to znane było już w Babilonii i Egipcie, gdzie służyło do wytyczania kątów prostych (świadczą o tym zachowane tabliczki z pismem klinowym). Twierdzenie Pitagorasa w uczniowskiej liryce:
 
Archimedes

Życiorys
Archimedes z Syrakuz (Archimedes ho Syrakosios; ok. 287-212 p.n.e.) grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony i zmarły w Syrakuzach; wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Był synem astronoma Fidiasza i prawdopodobnie krewnym lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.

Ciekawostki
Śmierć jego opisał Plutarch w następujący sposób: Uczony rozważał w skupieniu pewien problem geometryczny i tak był pogrążony w tej pracy, że nie zauważył zajęcia miasta przez Rzymian. Nagle stanął przed nim żołnierz rzymski i wezwał go, by udał się z nim do Marcellusa. Archimedes zgodził się, ale pod warunkiem, że pójdzie dopiero wtedy, gdy skończy swoje rozważania. Ta odpowiedź tak oburzyła Rzymianina, że ugodził uczonego mieczem, zadając mu śmierć.
Istnieją też inne wersje jego śmierci. W niektórych z nich występuje znany powszechnie zwrot Archimedesa, skierowany do żołnierza: "nie niszcz moich figur" (wg Plutarcha: "Noli turbare circulos meos"). Mimo, że od śmierci Archimedesa minęło ponad dwa tysiące lat, ciągle można być pod wrażeniem jego geniuszu matematycznego i fizycznego. Został na stałe gwiazdą pierwszej wielkości na firmamencie nauki. 

Fibonacci

Życiorys
Fibonacci (Leonardo z Pizy; ur. około 1175 r. - zm. 1250 r.) - włoski matematyk. Znany jako: Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci(syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy). Był jednym z pierwszych matematyków którzy zapoznawali się dośc dokładnie i szczegółowo i zgłębiali prace matematyków bliskiego wschodu wywodzących się ze szkół islamskich. Leonardo Fibonacci znany był również jako Leonardo z Pizy. Urodził się w średnio zamożnej rodzinie. Jego ojciec w końcu XII w. handlował w Bugii (Algieria), gdzie Leonardo uczył się matematyki u arabskich nauczycieli (co stało się później głównym powodem zainteresowań matematyka). Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku i to za sprawą jednego człowieka. Był nim właśnie Fibonacci. To sympatycznie brzmiące nazwisko kryje w głąb siebie łacińskie filius Bonacci, czyli syn Bonacciego; z kolei Bonaccio można by (z grubsza) tłumaczyć jako: poczciwiec.

Ciekawostki
Ciąg Fibonaciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w przyrodzie - można go odnaleźć w wielu jej aspektach - zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych. Zmiany dynamiczne pod tym względem najlepiej charakteryzuje rozmnażanie się królików. Przy założeniu, że początkowo mamy jedną parę - samca i samicę, którzy po miesiącu wydadzą na świat potomstwo, po kolejnym miesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal się rozmnażają, łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposób charakterystyczny dla naszego ciągu. Spójrzmy na tabelkę:

Widać z tego, że każda para co miesiąc wydaje na świat parkę młodych, które po miesiącu, będąc już zdolne do rozrodu, rozmnażają się w analogiczny sposób, przy czym wciąż rodzą się młode z poprzednich par. Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom. Samiec pszczoły w przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno ojca, jak i matkę - inną królową) powstaje wyłącznie dzięki matce. Jak więc wygląda jego drzewo genealogiczne? Jak widać, przodkowie trutnia - jego matka, jej rodzice i dalej, aż po pradziadków, narastają zgodnie z zasadą ciągu Fibonacciego - kolejne pokolenia to suma dwóch poprzednich. 

Ciekawostki matematyczne 3

Cyfry Rzymskie

CYFRY RZYMSKIE

Cyfry rzymskie wywodzą się z etruskiego zapisu, przejętego przez Rzymian około 5 w. p.n.e.
Zapis liczb jest logiczny i łatwy do zrozumienia, kieruje się powtarzalnymi i prostymi w zastosowaniu zasadami, ale nie jest łatwy w odczycie i uniemożliwia prowadzenie działań pisemnych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) w takim kształcie, w jakim je znamy. Rzymskimi cyframi nie można też zapisać ułamków.
Jakie są obecnie praktyczne zastosowania rzymskich liczb?
- oznaczanie wieków (w historii) (I w n.e.)
- numerowanie szkół średnich (liceów) (X Liceum im. Marii Konopnickiej)
- numery klas i lat studiów (II b)
- numerowanie władców (Zygmunt III Waza)
- nazwy wydarzeń historycznych (II Wojna Światowa)
- w niektórych przypadkach numerowanie rozdziałów w książkach
- czasami służy do numeracji miesięcy (wymiennie z arabskimi)
- zapisywanie dat powstania budynków (umieszczane na murach)
- odczytywanie starych dat

Cyfry rzymskie - liczebniki główne - nie ma zera!!!

Ciekawostki matematyczne 2

Liczby po innych językach
Po niemiecku
1 - ein  2 - zwei 3 - drei 4 - vier 5 - fuenf 6 - sechs 7 - sieben 8 - acht 9 - neun 10 - zehn

Po angielsku
 1 - one 2 - two 3 - three  4 - four 5 - five  6 - six 7 - seven 8 - eight 9 - nine 10 - ten

Po arabsku
1 - wahid 2 - itnan 3 - thalatha 4 - arba'a 5 - khamsa 6 - sitta 7 - saba'a 8 - tamanya 9 - tisa 10 - ashra

Po francusku
1 - un  2 - deux  3 - trois  4 - quatre  5 - cinq  6 - six  7 - sept  8 - huit  9 - neuf  10 - dix

Po duńsku
1 - en  2 - to  3 - tre 4 - fire 5 - fem  6 - seks 7 - syv  8 - otte 9 - ni

Po gruzińsku
1 - erti 2 - ori 3 - sami 4 - otchi 5 - chuti 6 - ekvsi  7 - szvidi 8 - rva 9 - cchra 10 - ati

Po szwedzku
1 - ett  2 - tva  3 - tre  4 - fyra 5 - fem  6 - sex  7 - sju  8 - atta 9 - nio  10 - tio

Po włosku
1 - uno 2 - due 3 - tre 4 - Quatro 5 - cinque 6 - sei 7 - sette 8 - otto 9 - nove 10 - dieci


Po rosyjsku
1 - adin 2 - dwa 3 - tri 4 - cietyrie 5 - pjać 6 - szest 7 - sjem 8 - wosiem 9 - djewiat 10 - djesiat

Po japońsku
1 - Ichi 2 - Ni 3 - San 4 - Shi 5 - Go6 - Roku 7 - Shichi 8 - Hachi 9 - Ku 10 - Ju

Po koreańsku
1 - Ha-na 2 - Tul 3- Set 4 - Net 5 - Ta-sot 6 - Yo-sot  7 - Il-gop 8 - Yo-dul 9 - A-hop 10 - Yol

Po chińsku
1 - Yi 2 - Er 3 - San 4 - Si 5 - Wu 6 - Liu 7 - Qi 8 - Ba 9 - Jiu 10 - Shi

Po węgiersku
1 - egy 2 - két 3 - három  4 - négy   5- öt  6 - hat  7 - hét  8 - nyolc  9 - kilenc  10 - tíz

Ciekawostki Matematyczne 1

Jak duży jest milion?

• Włos ludzki powiększony na grubość milion razy, będzie miał w średnicy 70 metrów.
• Komar powiększony milion razy będzie miał 5 kilometrów długości.
• Zwykły zegarek kieszonkowy powiększony milion razy będzie miał 50 kilometrów średnicy.
• Człowiek powiększony milion razy będzie miał 1700 kilometrów wzrostu.
• Milion ludzi, ustawionych ramię przy ramieniu, zajmie całe wybrzeże polskie (około 500 km).
• Milion kroków to podróż z Warszawy do Poznania i z powrotem.
• Książka o milionie stronic miałaby grubość równą 50 m.
• Od początku naszej ery nie upłynął jeszcze pierwszy milion dni; stanie się to za około 800 lat!

A bilion?

• Włos ludzki powiększony bilion razy byłby 6-krotnie grubszy od globu ziemskiego.
• Komar powiększony bilion razy byłby 50 razy większy od Słońca.
• Milion sekund upływa w niespełna dwa tygodnie, ale bilion sekund to ponad 30 000 lat!

Czy wiesz, że:

• Każde dziecko w ciągu 5 lat i kilku miesięcy odbywa jakby podróż dookoła świata, bo przejdzie w tym czasie około 40 000 km.
• Człowiek 60 letni ma za sobą drogę równą odległości Ziemi od Księżyca, tj. 384 000 km.

Co może się zdarzyć w ciągu 0,001 sekundy?

• Pociąg jadący z prędkością 36 km na godzinę przejedzie 1 cm.
• Samolot przeleci 10 cm.
• Głos przebywa 33 cm.
• Kula z pistoletu 70 cm.
• Ziemia przebywa 30 metrów.
• Błyskawica nierzadko trwa krócej a rozciąga się na wiele kilometrów.

MAGICZNA SIÓDEMKA
W starożytności liczbom przypisywano magiczne moce. Do jednej z takich liczb należała siódemka. Do dzisiaj wiele faktów historycznych, kulturalnych i wiele wytworów ludzkich rąk powiązanych jest z siódemką.
SIEDEM CUDÓW ŚWIATA STAROŻYTNEGO
piramidy egipskie (2800 lat p.n.e.)
latarnia morska na wyspie Pharos (304-246 p.n.e.)
wiszące ogrody Semiramidy w Babilonie (VIII w. p.n.e.)
mauzoleum-grobowiec w Halikarnasie (IV w. p.n.e.)
świątynia Artemidy w Efezie (IV w. p.n.e.)
Kolos Rodyjski-posąg Heliosa na wyspie Rodos (290 p.n.e.)
Posąg Zeusa w Olimpii ( V w. p.n.e. )
SIEDMIU MĘDRCÓW STAROŻYTNOŚCI
Kleobulos z Lindos
Periandros z Koryntu
Pittakos z Mityleny
Tales z Miletu
Bias z Prieny
Chilon z Lacedemonii
Solon z Aten
SIEDEM KRYSZTAŁOWYCH SFER
Według astrologów babilońskich wokół Ziemi krążyły przezroczyste kryształowe sfery, do których przymocowane były ciała niebieskie : Saturn,
Jowisz,
Słońce,
Mars,
Wenus,
Merkury
Księżyc.
SIEDEM DNI TYGODNIA
Ustanowił je prawdopodobnie Mojżesz na pamištkę 7 dni stworzenia świata. poniedziałek
wtorek
środa
czwartek
piątek
sobota
niedziela

SIEDEM TONÓW GAMY
Są to pierwsze zgłoski słów rozpoczynających 7 wierszy modlitewnego hymnu, ułożonego przez średniowiecznego mnicha Aretiusa.
do
re
mi
fa
sol
la
si

SIEDEM SZTUK WYZWOLONYCH
Artes liberales , w średniowieczu nauki te stanowiły wstęp do studiów wyższych gramatyka,
retoryka,
dialektyka,
arytmetyka,
geometria,
astronomia,
muzyka.
ZA SIEDMIOMA GÓRAMI, ZA SIEDMIOMA LASAMI...
Tak rozpoczynają się bajki.
SIEDEM LAT CHUDYCH, SIEDEM LAT TŁUSTYCH
Przysłowie mówi, że po 7 latach niepowodzeń przychodzi 7 lat dobrobytu.
SIEDEM W INNYCH JĘZYKACH
siedem - polski
seven - angielski
sedam - chorwacki
sedm - czeski
zeven - holenderski
sete - portugalski
sapte - rumuński
sedem - słowacki
saba - suahili
yedi - turecki
het - węgierski
bay - wietnamski
sieben - niemiecki
sept - francuski
siete - hiszpański
sette - włoski
sju - szwedzki
sju - norweski
syr - duński
cim - ukraiński

Mnożenie ułamków

Przykład 1

Przykład 2
Przykład 3
Przykład 4
Przykład 5
Przykład 6
Przykład 7
Przykład 8
Przykład 9
Przykład 10
Przykład 11
Przykład 12
Przykład 13

Skala na mapach i planach

Skala umożliwia Ci narysowanie obiektów dużych w pomniejszeniu, a obiektów bardzo małych w powiększeniu.

Przykład 1
wymiary rzeczywiste
skala: 1 : 1
zmniejszony 2 razy
skala 1 : 2
powiększony 2 razy
skala 2 : 1
Przykład 2
SKALE ZMNIEJSZAJĄCE
1 : 3 czyt.: jeden do trzech
- wymiary zostały zmniejszone 3 razy
1 : 5 - wymiary zostały zmniejszone 5 razy
1 : 8 - wymiary zostały zmniejszone 8 razy
1 : 10 - wymiary zostały zmniejszone 10 razy
1 : 100 - wymiary zostały zmniejszone 100 razy
1 : 150 - wymiary zostały zmniejszone 150 razy

Zadanie 1

Prostokąt o wymiarach 16 cm i 24 cm narysuj w skali 1 : 8.
Rozwiązanie
Wymiary rzeczywiste prostokąta 1 : 1
a = 16 cm
b = 24 cm
Wymiary zmniejszone prostokąta skala 1 : 8
Pamiętaj
Zmniejszeniu ulegają wszystkie odcinki.

Zadanie 2

Jakie są rzeczywiste wymiary prostokąta, który w skali 1 : 10 ma wymiary 6 cm i 4 cm?
Rozwiązanie
Wymiary prostokąta w skali 1 : 10
długość = 6 cm
szerokość = 4 cm
Prostokąt został 10 razy zmniejszony, czyli rzeczywiste wymiary są 10 razy większe.
Wymiary rzeczywiste prostokąta (czyli w skali 1: 1)
Odp.:
Rzeczywiste wymiary prostokąta to 60 cm i 40 cm.

Zadanie 3

Rzeczywista długość odcinka wynosiła 100 cm. Narysowany w zeszycie miał długość 5 cm. W jakiej skali narysowano go w zeszycie?
Rozwiązanie
Aby znaleźć skalę, musisz odpowiedzieć na pytanie, ile razy zmniejszono odcinek, że ze 100 cm stał się odcinkiem o długości 5 cm, czyli ile razy 100 jest większe od 5.
100 cm : 5 cm = 20
Odcinek został zmniejszony 20 razy.
Odp.:
Skala wynosiła 1 : 20.
Przykład 3
SKALE POWIĘKSZAJĄCE
2 : 1 - wymiary zostały powiększone 2 razy
3 : 1 - wymiary zostały powiększone 3 razy
5 : 1 - wymiary zostały powiększone 5 razy
10 : 1 - wymiary zostały powiększone 10 razy
100 : 1 - wymiary zostały powiększone 100 razy

Zadanie 4

Znaczek pocztowy o wymiarach 1,7 cm i 1,2 cm należy narysować w skali 4 : 1. Jakie będzie miał wymiary?
Rozwiązanie
Skala 4 : 1 określa, że wszystkie wymiary powiększono 4 razy.
Rzeczywiste wymiary znaczka:
Wymiary na rysunku:
Odp.:
Na rysunku znaczek będzie miał wymiary 6,8 cm i 4,8 cm.
PLANY I MAPY
Rysunki w skalach 1 : 100, 1 : 500, 1 : 1000, 1 : 10000 itp. To plany. Służą do przedstawienia pokoju, mieszkania, domu, rozkładu ulic w osiedlu lub mieście.
Mapy to rysunki terenu, kraju, kontynentu w skali 1 : 50000, 1 : 100000, 1 : 1000000 itp.
W praktyce ważna jest umiejętność przeliczania 1 cm na planie lub mapie na ilość metrów lub kilometrów w terenie.
Przykład 4
Przykład 5
Odp.:
Babcia mieszka w odległości 2,2 km od Olka.

Zadanie 6

Na niektórych mapach podawana jest podziałka liniowa. Można z niej odczytać, ilu metrom (lub km) w rzeczywistości odpowiada 1 cm na mapie. Asia odczytała, że 1 cm odpowiada 400 m. W jakiej skali wykonana jest ta mapa?
Rozwiązanie
Każdy odcinek został 40000 razy zmniejszony.
Odp.:
Skala tej mapy wynosi 1 : 40000.

Pola Figur

PROSTOKĄT

KWADRAT
RÓWNOLEGŁOBOK
ROMB
ROMB
TRÓJKĄT
TRAPEZ
Jednostki pola:

Zadanie 1

Jeden z boków prostokąta ma 5 cm, a drugi jest 3 razy dłuższy. Oblicz pole prostokąta.

Zadanie 2

Oblicz pole kwadratu, którego obwód wynosi 6 dm.

Zadanie 3

Oblicz obwód kwadratu, którego pole jest równe 25 cm².
P = a · a
a · a = 25 cm²
a = 5
Obwód = 4 · 5 cm = 20 cm

Zadanie 4

Jeden bok prostokąta ma 7 cm, a drugi jest o 3 cm dłuższy. Oblicz pole prostokąta.

Zadanie 5

Oblicz pole kwadratu o boku 3 cm.

Zadanie 6

Łazienka ma kształt prostokąta o wymiarach 4,5 m x 2,5 m. Ile płytek terakoty w kształcie kwadratu o boku 10 cm potrzeba na wyłożenie podłogi w tej łazience?
Odpowiedź:
Aby ułożyć podłogę w łazience, należy kupić 1125 płytek.

Zadanie 7

Oblicz pole równoległoboku, którego bok ma długość 15 cm, a wysokość opuszczona na ten bok wynosi 12 cm.

Zadanie 8

Odpowiedź:

Zadanie 9

Długości boków równoległoboku są równe: 16 cm i 8 cm. Wysokość opuszczona na krótszy bok ma 10 cm. Jaką długość ma wysokość opuszczona na dłuższy bok?
Odpowiedź:
Wysokość opuszczona na dłuższy bok ma 5 cm.

Zadanie 10

Jedna przekątna rombu ma długość 12 cm, a druga jest 3 razy dłuższa. Oblicz pole rombu.
Odpowiedź:
Pole rombu wynosi 216 cm².

Zadanie 11

Pole rombu jest równe 84 cm². Jedna z jego przekątnych ma długość 12 cm. Jaką długość ma druga przekątna?
Odpowiedź:
Druga przekątna ma 14 cm.

Zadanie 12

Pole rombu wynosi 48 cm², wysokość rombu 8 cm. Oblicz bok rombu.
Odpowiedź:
Pole rombu ma 6 cm.

Zadanie 13

Podstawa trójkąta wynosi 10 cm, a wysokość opuszczona na ten bok 6 cm. Oblicz pole trójkąta.

Zadanie 14

Pole trójkąta wynosi 15 cm², jeden z jego boków jest równy 5 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na ten bok.

Zadanie 15

Pole trójkąta wynosi 24 cm², a jedna z jego wysokości jest równa 8 cm. Oblicz długość boku, któremu odpowiada ta wysokość.
Odpowiedź:
Szukany bok ma 6 cm.

Zadanie 16

Pole trójkąta prostokątnego jest równe 5 cm². Jedna przyprostokątna ma długość 2 cm. Znajdź długość drugiej przyprostokątnej.
Odpowiedź:
Druga przyprostokątna ma 5 cm.

Zadanie 17

Wysokość trójkąta jest 3 razy dłuższa od boku, na który jest opuszczona i wynosi 12 cm. Jakie pole ma ten trójkąt?
Odpowiedź:
Ten trójkąt ma pole równe 24 cm².

Zadanie 18

W trapezie jedna z podstaw ma długość 26 cm, druga podstawa jest dwa razy od niej krótsza. Wysokość trapezu jest równa 12 cm. Oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedź:
Pole trapezu wynosi 234 cm².

Zadanie 19

Oblicz pole trapezu, w którym wysokość ma długość 4 cm, jedna z podstaw ma długość 10 cm, a druga jest o 5 cm od niej dłuższa.
Odpowiedź:
Pole trapezu wynosi 50 cm².

Zadanie 20

Suma długości podstaw trapezu wynosi 7 cm, a wysokość ma 4 cm. Jakie jest pole tego trapezu?
Odpowiedź:
Pole trapezu wynosi 14 cm².

Zadanie 21

Obwód trapezu równoramiennego wynosi 28 cm, każde ramię ma długość 5 cm, a wysokość ma długość 4 cm. Oblicz pole tego trapezu.